ژانویه 22, 2021

منبع پایان نامه ارشد درمورد اندازه گیری، روش های تحلیلی، روش تحلیلی

2 min read
<![CDATA[]]>

شکل ‏31 شبکه بندی با فواصل نامساوی
همانطور که مشاهده ميکنيد گرهها در نزديکي مرزها به هم نزديکتر ميباشند و در نقاط دور از مزر فاصله بيشتري از يکديگر دارند.
تعيين ضرايب وزني
ضرايب وزني مورد استفاده در اين روش از روابط زير به دست ميآيند:
براي مشتق مرتبه اول ميتوان نوشت:
(‏368)
i,j=1,…,N_x j≠i
A_ij^((1) )=M(X_i )/(X_i-X_j )M(X_j )
(‏369)
i,j=1,…,N_y j≠i
B_ij^((1) )=P(Y_i )/(Y_i-Y_j )P(Y_j )
کهدر روابط فوق:
(‏370)
M(X_i )=∏_█(j=1@j≠i)^(N_x)▒(X_i-X_j )
(‏371)
P(Y_i )=∏_█(j=1@j≠i)^(N_y)▒(Y_i-Y_j )
و براي مشتقات بالاتر:
(‏372)
i,j=1,…,N_x j≠i
A_ij^((n) )=n(A_ii^((n-1) ) A_ij^((1) )-(A_ij^((n-1) ))/(X_i-X_j ))
(‏373)
i,j=1,…,N_y j≠i
B_ij^((m) )=m(B_ii^((m-1) ) B_ij^((1) )-(B_ij^((m-1) ))/(Y_i-Y_j ))
همچنين داريم:
(‏374)
{█(i=1,…,N_x @n=1,2,…,N_x-1)┤
A_ii^((n) )=-∑_█(j=1@j≠i)^(N_x)▒A_ij^((n) )
(‏375)
{█(i=1,…,N_y @n=1,2,…,N_y-1)┤
B_ii^((m) )=-∑_█(j=1@j≠i)^(N_y)▒B_ij^((m) )
که در آن n مرتبه مشتقگیری میباشد و در تمامی روابط بالا N تعداد نقاط گسسته سازی است. اما انتخاب نقاط گسسته سازی خود از مسائل اساسی میباشد که میتواند در سرعت همگرایی و دقت جوابهای حاصل تأثیر بسیار زیادی داشته باشد. در این پژوهش، برای گسسته سازی از ریشههای معادله گاوس-لژاندر-چبیشف استفاده شده است؛ چرا که این ریشهها برخلاف گسستهسازی با فواصل مساوی، موجب واگرایی جوابها در تعداد نقاط زیاد نمیشوند. بنابراین برای نقاط گسسته سازی داریم:
x_i=1/2 L(1-cos⁡((i-1)/(N-1)))
حال با استفاده از روش عددی توضیح داده شده، دستگاه معادلات ارائه شده در فصل قبل براحتی حل خواهد شد.
روش حل برای هر دو مسئله ی کمانش و ارتعاشات به یک صورت است. تنها تفاوت آنها این است که در حل کمانشی باید تمام مشتقات زمانی برابر صفر قرار داده شوند و در حل ارتعاشاتی باید نیروهای N ̅_xx و N ̅_yy و N ̅_xy برابر صفر در نظر گرفته شوند.
در ادامه ی کار براحتی با جایگذاری مشتقات نشان داده شده در روابط تا در معادلات تعادل و و بکارگیری شرایط مرزی به یک دستگاه معادلات جبری به صورت زیر برخورد می کنیم.
(‏376)
[■(A_bb&A_bd@A_db&A_dd )][█(X_b@X_d )]=[N ̅ ][■(B_bb&B_bd@B_db&B_dd )][█(X_b@X_d )]
در معادله ی بالا X_b نشان دهنده ی میدان های جابجایی روی مرز هستند و X_d نشان دهنده ی میدان های جابجایی داخل مرز هستند. با توجه به روش مربعات تفاضلی باید X_b ها از معادله ی بالا حذف شوند. با این کار در نهایت دستگاه معادلات به صورت زیر تغییر می کند که با بکارگیری دستور مقدار ویژه، مقادیر N ̅ می توان بدست آورد.
(‏377)
[A ́ ][X_d ]=[N ̅ ][B ́ ][X_d ]
فصل چهارم::شبیه سازی نتایج
نتایج عددی
در این بخش معادلات تعادلی که در بخش های قبل بدست آورده شدند بوسیله ی روش مربعات تفاضلی گسسته سازی شده و مورد حل قرار می گیرند. به وسیله ی یک کد کامپیوتری که در نرم افزار MATLAB توسعه یافته است این معالات حل شده اند. به منظور بررسی دقت و پایداری جواب های حاصله از روش مربعات تفاضلی این جواب ها با نتایج موجود در دیگر مراجع مقایسه و صحت سنجی خواهد شد.
بعد از بدست آوردن معادلات حاکم دیده شد که ترمی جدید در معادلات اضافه شد که مربوط به تئوری الاستیسیته ی غیرموضعی است که شامل اثرات اندازه می باشد. این ترم باعث می شود که پارامتر های اندازه گیری در مسئله با مقدار کلاسیک آنها یعنی وقتی که پارامتر اندازه صفر است متفاوت باشد. حال یکی از اهداف ما در این پروژه این است که ببینیم مقدار پارامتر اندازه چه تغییری در مسئله ایجاد می کند و آیا این مقدار همواره در مسئله مهم خواهد بود.
در این قسمت کمانش صفحه ی چندلایه ی کامپوزیتی نانو در بستر الاستیک مورد مطالعه قرار می گیرد. تاثیرپامتر ابعادی μ=〖(e_0 a ̅)〗^2 , ضرایب مربوط به بستر الاستیک K_w وK_g ، نسبت طول به عرض صفحه، ضخامت صفحه بر روی کمانش صفحه نانو مورد برسی قرار می گیرد. تحلیل برای شرایط مرزی مختلف انجام می شود.
در اینجا نسبت نیروی وارد شده در جهت x به نیروی وارد شده در جهت y با رابطه ی زیر تعریف می‏شود:
λ=N_yy/N_xx
همچنین پارامترهای مختلف مورد استفاده در این پروژه بر اساس جدول( ‏41) در نظر گرفته شده اند:
جدول ‏41 پارامترهای مورد استفاده در مسئله
0,1,2,3,4,5
μ
10-15-20-25
L_1/h
0,0.005,0.01,0.00150.002
K_g
0,0.5,1,1.5,2
K_w
1,1.5,2,2.25
L_1/L_2
Simply support & clamped
Boundary condition
[0/30/30/0]
Orientation angle
. برای بررسی همگرایی وبدست آوردن کمترین نقاط شبکه ای که در آن جواب پایدار و دقیق باشد تست همگرایی انجام شده است. شکل( ‏41) تغییرات خطای کمانشی را برای تعداد نقاط مختلف بوسیله ی روش مربعات تفاضلی تعمیم یافته نشان می دهد. خطای کمانشی بوسیله ی رابطه ی زیر تعریف می شود :
= خطای کمانشی 100*├ ├|(N-N_converge)/N_converge ┤┤|
که در آن P کمانش نانو صفحه ی چندلایه گرفن است.
این قسمت برای یک نانو صفحه ی چندلایه گرفن که روی تکیه گاه گیردار قرار دارد انجام شده است. نسبت L_1/h=10,5 در نظر گرفته شده است.
شکل ‏41 نمودار خطای کمانشی بر حسب تعداد نقاط و همگرایی روش مربعات تفاضلی
با توجه به شکل( ‏41) مشخص است که پس تعداد حدودا یازده نقطه با افزایش تعداد نقاط خطای کمانشی به سرعت به سمت صفر میل می کند و تغییری در جواب مسئله ایجاد نمی شود که نشان از همگرا شدن جواب دارد. بنابراین در این مطالعه از یازده نقطه برای بررسی رفتار نانو صفحه استفاده شده است.
صحت سنجی
قبل از پرداختن به جزییات اثر پارامترهای مختلف بر روی رفتار نانوصفحه بهتر است اعتبار فورمولاسیون ارائه شده در اینجا را مورد برسی قرار گیرد. در این جا با استفاده از روش تحلیلی ارائه شده در قسمت قبل برای صحت سنجی استفاده شد است.
جدول ‏42 مقایسه ی کمانش بدون بعد برای نانو صفحه با تکیه گاه ساده ،حل تحلیلی و حل عددی
Analytical solution
Numerical solution
μ
L_1/h
L_1/L_2
0.0442
0.0442
10
1
0.0403
0.0402
1
0.0373
0.0375
2
0.0115
0.0115
20
0.0102
0.0102
1
0.0097
0.0099
2
0.01054
0.01054
10
2
0.0864
0.0865
1
0.0748
0.0748
2
0.0279
0.0279
20
0.0229
0.0229
1
0.0198
0.0198
2
کمانش بدون بعد برای نانوصفحه بر اساس ضخامت نانو صفحه، پارامتر ابعادی و نسبت نانو صفحه برای حالت تکیه گاه ساده در جدول( ‏42) آورده شده است. این واضح است که نتایج عددی ارائه شده در این پروژه اختلاف بسیار کمی در حدود 0.01 درصد با نتایج موجود در دیگر مراجع دارد.
همچنین با حل تحلیلی ارائه شده در قسمت قبل نیروی کمانش بدست آورده شده است. نیروی کمانش بر حسب پارامترهای مختلف مثل پارامتر غیر موضعی، طول نانو صفحه در جدول( ‏42) آورده شده است. نتایج حاکی از این است که نیروی کمانش پیش بینی شده بوسیله ی روش عددی مربعات تفاضلی تعمیم یافته توافق بسیار مناسبی با روش های تحلیلی دارد.
نتیجه مهم دیگری که در این نمودار می توان مشاهده کرد این است که نیروی کمانش حالت کلاسیک (یعنی زمانی که μ=0 است) از نیروی کمانش غیرکلاسیک بیشتر است و این اهمیت پارامتر ابعادی را مشخص می کند.
کمانش نانو صفحه
در این قسمت کمانش نانوصفحه در بستر الاستیک مورد مطالعه قرار می گیرد. تاثیرات پارامتر ابعادی μ , ضرایب مربوط به بستر الاستیک K_w وK_g ، نسبت طول به عرض نانو صفحه، ضخامت نانو صفحه بر روی کمانش صفحه مورد برسی قرار می گیرد. تحلیل برای شرایط مرزی مختلف انجام می شود.
نیروی کمانش بدون بعد و نسبت صفحه به صورت زیر تعریف می شود:
(‏41)
N ̅=N/(hL_1 E_m )
که در آن N نیروی کمانش صفحه است، و E_m مدول الاستیسیته ی ماتریس در صفحه هستند.
نسبت صفحه به صورت زیر در نظر گرفته می شود:
(‏42)
aspect ratio=L_1/L_2
که در آن L_1 و L_2 طول و عرض صفحه می باشند.
همچنین برای برسی اثر پارامترهای مختلف بر روی رفتار کمانشی نانو صفحه ی چندلایه گرفن نسبت نیروی کمانش هم به صورت زیر معرفی می شود:
(‏41)
buckling load ratio=(N^N/N^c )
که در آن N^N نیروی کمانش بدون بعد بر اساس تئوری الاستیسیته غیرموضعی و N^c نیروی کمانش بدون بعد بر اساس تئوری الاستیسیته ی کلاسیک است. نیروی کمانش بدون بعد یک راه اندازه گیری خطای ناشی از صرف نظر کردن اثرات غیرکلاسیک در تحلیل مورد نظر می باشد. برای مثال اگر نسبت نیروی کمانش برابر یک و]]>

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *

Copyright © All rights reserved. | Newsphere by AF themes.