دسامبر 4, 2020

منبع پایان نامه ارشد درمورد y=0، x=L_1، y=L_2

3 min read
<![CDATA[]]>

-c_1^2 H_11 (∂^4 w)/(∂x^4 )-c_1^2 H_22 (∂^4 w)/(∂y^4 )+(-〖2c〗_1^2 H_12-〖4c〗_1^2 H_66 ) (∂^4 w)/(∂y^2 ∂x^2 )+(-〖4c〗_1^2 H_16 ) (∂^4 w)/(∂x^3 ∂y)+(-〖4c〗_1^2 H_26 ) (∂^4 w)/(∂x∂y^3 )+(A_45-2c_2 D_45+〖c^2〗_2 F_45 ) 〖∂^2 w〗_0/(∂x^2 )+(A_55-2c_2 D_55+〖c^2〗_2 F_55+A_44-2c_2 D_44+〖c^2〗_2 F_44 ) 〖∂^2 w〗_0/∂y∂x+(A_45-2c_2 D_45+〖c^2〗_2 F_45 ) 〖∂^2 w〗_0/(∂y^2 )=L w ̇
که در آن ضرایب ماتریسی A,B,D,E,F,H به صورت زیر تعریف می شوند:
(‏350)
{█([A]@[B]@[D]@[E]@[F]@[H])}=∫_(-h/2)^(h/2)▒([Q]) ̅ {█([email protected]@z^[email protected]^[email protected]^[email protected]^6 )}dz
و همچنین u ̇ ، v ̇ ، Φ ̇_x و Φ ̇_y و w ̇ به صورت زیر تعریف می شوند:
(‏351)
u ̇=f_u
(‏352)
v ̇=f_v
(‏353)
Φ ̇_x=0
(‏354)
Φ ̇_y=0
(‏355)
w ̇=-∂/∂x (N ̅_xx (∂w_0)/∂x+N ̅_xy (∂w_0)/∂y)-∂/∂y (N ̅_yy (∂w_0)/∂y+N ̅_xx (∂w_0)/∂x)+q
شرایط مرزی بدست آمده نیز به صورت زیر خواهند بود:
(‏356)
N_xx=P_1 یا u_0=u ̅_0 در x=0 و x=L_1
N_xy=0 یا u_0=u ̅_0 در y=0 و y=L_2
N_yy=P_2 یا v_0=v ̅_0 در y=0 و y=L_2
N_xy=0 یا v_0=v ̅_0 در x=0 و x=L_1
M_xx=M_1 یا ϕ_x=ϕ ̅_x در x=0 و x=L_1
M_xy=0 یا ϕ_x=ϕ ̅_x در y=0 و y=L_2
M_yy=M_2 یا ϕ_y=ϕ ̅_y در y=0 و y=L_2
M_yx=0 یا ϕ_y=ϕ ̅_y در x=0 و x=L_1
c_1 (∂P_xx)/∂x+c_1 (∂P_xy)/∂y+Q ̅_x-N ̅_xx (∂w_0)/∂x=V_1 یا w_0=w ̅_0 در x=0 و x=L_1
c_1 (∂P_yy)/∂y+c_1 (∂P_xy)/∂x+Q ̅_x-N ̅_xx (∂w_0)/∂x=V_2 یا w_0=w ̅_0 در y=0 و y=L_2
c_1 P_xx=M_R1 یا (∂w_0)/∂x=(∂w ̅_0)/∂x در x=0 و x=L_1
c_1 P_xy=0 یا (∂w_0)/∂x=(∂w ̅_0)/∂x در y=0 و y=L_2
c_1 P_xx=0 یا (∂w_0)/∂y=(∂w ̅_0)/∂y در x=0 و x=L_1
c_1 P_yy=M_R2 یا (∂w_0)/∂y=(∂w ̅_0)/∂y در y=0 و y=L_2
سپس تمامی پارامترها را به صورت زیر بی بعد می کنیم:
(‏357)
X=x/L1 0X1
Y=y/L2 0X1
Z=z/h 0X1
h ̅=h/L_1 L_1/L_2=α τ=μ/〖L_1〗^2
U_0=u ̃_0/L_1 V_0=v ̃_0/L_2 W_0=w ̃_0/L_1
E ̅_c=E_c/E_c E ̅_m=E_m/E_c ρ ̅_c=ρ_c/ρ_c ρ ̅_m=ρ_m/ρ_c
N ̅_xx=N ̅_xx/(h ̅LE_c )
N ̅_yy=N ̅_yy/(h ̅LE_c )
N ̅_xy=N ̅_xy/(h ̅L_1 E_c )
ϖ=ωh√(ρ_c/E_c )
K_g=k_g/(E_c Lh ̅ )
K_w=(k_w L)/(E_c h ̅ )
حل تحلیلی
در اینجا قصد داریم با ارائه ی یک راه حل تحلیلی و بدست آوردن جواب های حاصل از آن، مقایسه ای بین این نتایج و نتایج حاصل از روش مربعات تفاضلی تعمیم یافته انجام دهیم و درصد خطا را بدست آوریم.
حل تحلیلی موجود فقط برای زمانی که هر چهار طرف صفحه تکیه گاه ساده (S1) باشد مورد استفاده قرار می گیرد.
(‏358)
N_xx=0, M_xx=0,ϕ_y=0,w_0=0,(∂w_0)/∂y=0,v_0=0 در x=0 و x=L_1
N_yy=0, M_yy=0,ϕ_x=0,w_0=0,(∂w_0)/∂x=0,u_0=0 در y=0 و y=L_2
با استفاده از حل ناویر میدان های جابجایی به صورت زیر در نظر گرفته می شوند:
(‏359)
U_0=∑_(n=1)^∞▒∑_(m=1)^∞▒U_mn cos⁡(nπX) sin⁡(nπY)
V_0=∑_(n=1)^∞▒∑_(m=1)^∞▒V_mn sin⁡(nπX) cos⁡(nπY)
W=∑_(n=1)^∞▒∑_(m=1)^∞▒W_mn sin⁡(nπX) sin⁡(nπY)
ϕ_x=∑_(n=1)^∞▒∑_(m=1)^∞▒φ_mn cos⁡(nπX) sin⁡(nπY)
ϕ_x=∑_(n=1)^∞▒∑_(m=1)^∞▒φ_mn sin⁡(nπX) cos⁡(nπY)
با جایگذاری روابط (73) در معادلات بی بعد شده ی (60-64) مسئله تبدیل به یک مسئله ی مقدار ویژه خواهد شد که حل آن با توجه به روش های موجود براحتی انجام خواهد شد.
حل عددی
روش عددی GDQ
انتخاب یک روش حل عددی مناسب در دقت و کیفیت جوابهای تولید شده تأثیر بسزایی دارد. همچنین، انتخاب یک روش خوب میتواند به طور چشمگیری از زمان حل مسأله بکاهد. در این بین، روش عددی GDQ از مزیتهای چشمگیری برخوردار است؛ چرا که با وجود در نظر گرفتن تعداد نقاط گسسته سازی بسیار کمتر از روش اجزاء محدود، جوابهایی بسیار دقیقتر از روش تفاضل محدود تولید میکند. بنابراین، انتخاب این روش به عنوان روشی سریع که از دقت بالایی نیز برخوردار است، به نظر تصمیمی منطقی می‏باشد. به همین دلیل، روش GDQ به عنوان یک روش عددی مناسب برای حل دستگاه معادلات دیفرانسیل ارائه شده در فصل قبل انتخاب شده است.
همانند هر روش عددی دیگری، GDQ هندسه مسأله را گسسته سازی میکند و مجهولات مسأله را به عنوان توابعی از مقادیر مجهول در نقاط گسستهسازی شده تعریف میکند. این روش، تابع و مشتقات آن را به صورت جمع خطی وزنی مقادیر تابع در تمامی نقاط گسسته سازی تعریف میکند. همین نکته باعث میشود که این روش از روشهای مشابه دقیقتر باشد.
ریچارد بلمن48 در سال 1972 برای اولین بار ایده روش DQ را مطرح کرد [46] و از آن پس، این روش شروع به پیشرفت و شکوفایی کرد. بلمن از دو روش برای پیدا کردن ضرایب وزنی49 استفاده کرد. در روش اول، یک تابع ساده به عنوان تابع وزنی انتخاب شد، اما مشاهده شد که با استفاده از چنین تابعی، ماتریس ضرایب در تعداد نقاط گسسته سازی زیاد (برای مثال بیش از 13 نقطه) دچار مشکل شده و در نتیجه جوابها در چنین حالتی واگرا میشوند. روش دوم او نیز همانند روش اول بود، با این تفاوت که در این روش، نقاط گسسته سازی با استفاده از ریشههای معادله مرتبه N لژاندر انتخاب میشدند.
شو50[47] با ارائه یک سری مقالات، روش DQ پیشنهاده شده را تعمیم داد. تغییر اساسی که او در این روش ایجاد کرد، در نحوه مواجهه با شرایط مرزی است. اخیراً، وو در مقالهای[48] روش مربعات تفاضلی تعمیم یافته (GDQ) را پیشنهاد داده است که در این پژوهش نیز به کار گرفته شده است.
نکته پیچیده استفاده از این روش مواجهه با شرایط مرزی مسأله است. زمانی که تنها یک شرط مرزی در هر تکیهگاه وجود داشته باشد، مشکلی با اعمال شرایط مرزی ,وجود ندارد، اما در صورت وجود شرایط مرزی اضافی باید روش خاص دیگری اتخاذ شود که در این مورد چهار راه حل گوناگون پیشنهاد شده است.
روش اول که توسط برت و همکارانش [49] پیشنهاد شده است، شرط مرزی هندسی را به خود گره مرزی اعمال کرده و شرط مرزی نیرویی را به نقطهای با اختلاف بسیار جزئی δ از مرز اعمال میکند. بنابراین، با استفاده از این نگرش، نمیتوان شرط مرزی نیرویی را به طور دقیق در گره مرزی اعمال کرد. دقت این روش، به میزان زیادی وابسته به انتخاب درست اندازه پارامتر است و برای شرایط مرزی لولا جواب‏هایی با خطای نسبتاً زیاد تولید میکند.
روش دوم که توسط ونگ و برت [50] ارائه شده است، با اصلاح ماتریس ضرایب سعی میکند که شرایط مرزی نیرویی را خودبهخود ارضاء کند. این روش، اگرچه به نظر مطلوب میآید، اما به دلیل لزوم تغییر تابع وزنی برای هر شرط مرزی، روشی بسیار طاقت فرسا میباشد. ضمن اینکه این روش قادر به حل شرایط مرزی گیردار و آزاد نمیباشد.
روش سوم که توسط شو و دو [51] توضیح داده شده، به جایگزینی شرایط مرزی به جای معادلات حاکم در گرههای مرزی میپردازد. این روش با اعمال مستقیم شرایط مرزی از دقت بسیار بالایی برخوردار بوده و برای تمامی شرایط مرزی قابل استفاده است. به همین دلیل، در این پروژه از این روش استفاده شده است.
روش آخر به حل توأمان شراط مرزی و معادلات حاکم میپردازد [52]. این روش برای مسائل ارتعاشی و برای هر نوع ترکیبی از شرایط مرزی قابل استفاده میباشد، ولی جوابهای حاصل از آن، در مقایسه با سایر روشها، از دقت بالایی برخوردار نیستند.
همانگونه که بیان شد، مسأله اساسی در روش مربعات تفاضلی تعمیم یافته، تعریف مشتقات تابع در هر نقطه، به عنوان جمع وزنی مقادیر تابع در تمامی نقاط است. در این روش، با پیشنهاد کوآن و چانگ [53]، تابع چند جملهای میانیاب لاگرانژ51 برای غلبه بر مشکلات موجود در روش DQ به کار گرفته شده است. بنابراین، برای مشتقات تابع در هر نقطه داریم:
الف) f تابعي از x
(‏360)
n=1,…,N-1
f_x^((n) ) (x_i )=∑_(j=1)^N▒C_ij^((n) ) f(x_j )
ب) f تابعي از x و y
(‏361)
n=1,…,N_x-1
f_x^((n) ) (x_i,y_j )=∑_(k=1)^(N_x)▒A_ik^((n) ) f(x_k,y_j )
(‏362)
m=1,…,N_y-1
f_y^((m) ) (x_i,y_j )=∑_(l=1)^(N_y)▒B_jl^((m) ) f(x_i,y_l )
(‏363)
{█(i=1,…,[email protected]=1,…,N_y-1)┤
f_xy^((n+m) ) (x_i,y_j )=∑_(k=1)^(N_x)▒〖∑_(l=1)^(N_y)▒〖A_ik^((n) ) B〗_jl^((m) ) f(x_k,y_l ) 〗
به عنوان مثال شکل ماتريسي مشتقات مرتبه اول و دوم تابع f در راستاي x با انتخاب پنج گره به صورت زير نتيجه ميشود:
الف) مشتق مرتبه اول در راستاي x
∂f/∂x=∂/∂x [█(f_█([email protected])@f_█([email protected])@f_█([email protected])@f_█([email protected])@f_5 )]=[█(■(A_11^((1) )&■(A_12^((1) )&A_13^((1) )&■(A_14^((1) )&A_15^((1) ) )))@■(A_21^((1) )&■(A_22^((1) )&A_23^((1) )&■(A_24^((1) )&A_25^((1) ) )))@■(A_31^((1) )&■(A_32^((1) )&A_33^((1) )&■(A_34^((1) )&A_35^((1) ) )))@■(A_41^((1) )&■(A_42^((1) )&A_43^((1) )&■(A_44^((1) )&A_45^((1) ) )))@■(A_51^((1) )&■(A_52^((1) )&A_53^((1) )&■(A_54^((1) )&A_55^((1) ) ))))][█(f_█([email protected])@f_█([email protected])@f_█([email protected])@f_█([email protected])@f_5 )]
ب) مشتق مرتبه دوم در راستاي x
(∂^2 f)/(∂x^2 )=∂/∂x [█(f_█([email protected])@f_█([email protected])@f_█([email protected])@f_█([email protected])@f_5 )]=[█(■(A_11^((2))&■(A_12^((2))&A_13^((2))&■(A_14^((2))&A_15^((2)) )))@■(A_21^((2))&■(A_22^((2))&A_23^((2))&■(A_24^((2))&A_25^((2)) )))@■(A_31^((2))&■(A_32^((2))&A_33^((2))&■(A_34^((2))&A_35^((2)) )))@■(A_41^((2))&■(A_42^((2))&A_43^((2))&■(A_44^((2))&A_45^((2)) )))@■(A_51^((2))&■(A_52^((2))&A_53^((2))&■(A_54^((2))&A_55^((2)) ))))][█(f_█([email protected])@f_█([email protected])@f_█([email protected])@f_█([email protected])@f_5 )]
تعيين مختصات گرهها
مرحله اول در اين روش انتخاب مختصات گرهها ميباشد که طريقه اين انتخاب از روابط زير به دست می‏آيد:
1) نقاط با فواصل مساوي
(‏364)
i=1,…,N_x
X_i=(i-1)/(N-1) a
(‏365)
i=1,…,N_y
Y_i=(i-1)/(N-1) b
2) نقاط با فواصل نامساوي
(‏366)
i=1,…,N_x
X_i=a/2 {1-cos⁡((i-1)/(N_x-1))π }
(‏367)
i=1,…,N_y
Y_i=b/2 {1-cos⁡((i-1)/(N_y-1))π }
که در عبارات فوق a وb به ترتيب طول بازه مورد نظر در راستاهاي x وy و N_x و N_y بيان کننده تعداد گرهها در راستاهاي مذکور ميباشند. اين نقاط به عنوان نقاط گوس چبیشف شناخته ميشوند. تقسيم بندي فوق اولين بار توسط ریچارد و شو پيشنهاد شد. تحقيقات نشان ميدهد که با استفاده از تقسيم بندي مذکور ميتوان به نتايجي با دقت بالاتر دست يافت، لذا در اين پروژه از اين نوع تقسيم بندي استفاده ميشود. براي مثال اگر a=1 و b=1 باشد و تعداد گرهها را در هر دو راستا برابر]]>

این مطلب را هم بخوانید :  پایان نامه با واژگان کلیدینرم افزار

پاسخ دهید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *

Copyright © All rights reserved. | Newsphere by AF themes.